チェスの Elo 計算機：計算式、K 係数、計算例

Elo（イロ）レーティングの名前は、ハンガリー生まれのアメリカ人で、マーケット大学の物理学教授だった Arpad Elo に由来します。全米チェス連盟が1960年に彼のレーティング方式を採用し、国際チェス連盟 FIDE が1970年に続きました。FIDE は現在も公式レーティングにこの方式を使っています。

Elo レーティングは相対的な数値です。1650 という数字だけではほとんど何もわかりません。大切なのは相手との差です。その差から、方式はあなたが何点取るはずかを予測します。予測より多く得点すればレーティングは上がり、少なければ下がります。K 係数が同じなら、一方が得た点数はもう一方が失った点数と同じです。

期待得点 E は、特定の相手に対して1局あたり何点取るはずかを示す、0 から 1 の間の数値です。勝ちは 1、引き分けは 0.5、負けは 0 と数えます。式は次のとおりです。

E = 1 / (1 + 10^((R_opponent - R_own) / 400))

レーティングが同じなら E は 0.5 です。差が400点広がるごとに、勝算の比が10倍になります。小数第2位で丸めると次のようになります。

期待得点 0.76 は、勝つ確率が 76 % という意味ではありません。引き分けを0.5点として数えて、100局で76点という意味です。FIDE はこの式を直接使わず、レーティング規程の換算表を使っています。値はほぼ同じで、差が400のとき、表では 0.91 ではなく 0.92 になります。

対局後の変動は、実際の得点と期待得点の差に K 係数を掛けたものです。

Change = K × (Score - E)

計算例。 あなたのレーティングが 1500、相手が 1700、K 係数が 20 だとします。差は200点なので、期待得点は 1 / (1 + 10^(200/400)) = 0.24 です。

強い相手との引き分けでも、期待より多く得点したので点数が上がります。K 係数が同じなら、相手はあなたが得た分をそのまま失います。

複数の対局。 FIDE は、レーティング期間内のすべての対局の変動を合計します。それぞれの変動は、その時点のリストのレーティングで計算されます。上の計算機も同じ方法です。K 20、レーティング 1500 の例：1400 の相手に勝ち（E 0.64、変動 +7.2）、1600 の相手と引き分け（E 0.36、+2.8）、1550 の相手に負け（E 0.43、-8.6）。合計 +1.4 なので、新しいレーティングは 1501 です。

K 係数は、1局がレーティングをどれだけ動かすかを決めます。FIDE のレーティング規程によると次のとおりです。

• K = 40：レーティングリストに新しく載ったプレイヤー。少なくとも30局を含む大会を終えるまで。
• K = 40：18歳の誕生日を迎える年の年末までのすべてのプレイヤー。レーティングが2300未満である限り。
• K = 20：レーティングが2400未満である限り。
• K = 10：公表されたレーティングが一度2400に達したら。その後レーティングが2400を下回っても10のままです。

700ルール。 レーティング期間内の対局数に K を掛けた値が700を超える場合、K は、K × 対局数が700を超えない最大の整数に引き下げられます。K 40 のジュニアが1か月に20局のレーティング対局を指すと800になるので、その期間の K は35になります。K 20 の大人が40局指した場合も800になるので、K は17になります。

計算機では K 40、20、10 を選べます。1つの期間にたくさん対局する場合は、700ルールに従って自分で K 係数を設定するか、所属する連盟の計算と結果を比べてください。

FIDE はレーティング差に上限を設けています。400点を超える差は、400点として数えます。2025年10月1日以降、これはレーティング2650未満のプレイヤーに適用され、それ以上では実際の差が使われます。

K 20 の例：レーティング 1500 のプレイヤーが 1000 の相手に勝ったとします。実際の差500点で計算すると、期待得点は 0.95、上昇は約 +1.1 です。上限を適用すると期待得点は 0.91、上昇は +1.8 になります。同じ対局で負けた場合の損失は、18.9点ではなく18.2点です。400点ルールをオンにすると、計算機はこの上限を適用します。レーティング2650以上のプレイヤーはオフにしてください。

オンラインのプラットフォームは、統計学者 Mark Glickman が Elo の考え方を発展させた方式を使っています。Lichess は Glicko-2 を使い、新しいプレイヤーは1500から始まります。Chess.com は Glicko を使っていて、最初のレーティングはアカウント作成時に選んだ棋力によって決まります。

Glicko は期待得点の考え方はそのままに、2つ目の数値、レーティング偏差（RD）を加えます。これは、方式があなたのレーティングにどれだけ確信を持っているかを表します。新しいプレイヤーや、しばらく休んでから復帰したプレイヤーは偏差が大きいので、1局ごとのレーティングの動きも大きくなります。Lichess では、偏差が大きい間はレーティングに疑問符が付きます。そのため上の計算機は FIDE の計算とはよく一致しますが、Lichess や Chess.com で表示される値とはおおよそしか一致しません。

レーティングの数値は、それぞれのプレイヤー集団の中でしか意味を持ちません。たとえば FIDE のリストは1400から始まり、それ未満のプレイヤーはレーティングなしとして表示されます。Lichess の1500、Chess.com の1500、FIDE リストの1500は、3つの異なるレベルです。その関係は Chess.com と Lichess のレーティング比較のページで紹介しています。

Elo が見るのは結果だけです。強い相手へのまぐれ勝ちも、よく指した勝ちと同じに数えられ、良い対局のあとの時間切れ負けも負けとして数えられます。1局の中で実際にどれだけうまく指せたかを知りたいなら、別の道具、つまり指し手を見る道具が必要です。

それを行うのが、ChessWOW アプリの棋力の推定です。ユーザー名で Lichess の対局を読み込んでレポートを開くと、ChessWOW はブリッツやラピッドの1局で示された双方のレベルを、Lichess の尺度でのおおまかな範囲として推定します。公式のレーティングではなく、1局だけでは普段のレベルと違うこともありますが、何局か見ればはっきりした傾向がわかります。